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“于是我们又得到了一个等式,2k?=q?,同理可得,q为偶数。”
“也就是说,从根号2是有理数这个前提,我们可以推出这样一个结果,p和q拥有一个共同的因数2,而这违背了最初的假设pq互质,由此可得这个前提条件是错误的。”
“根据类似的思路我们还可以证明根号3,根号12是无理数。”
“然后在这里,我要第一次引入无穷的概念,我现在画一条线段,这条线段的起点是0,终点是1,也就是它是一段长度为1的有限长的线段。”
“那么请思考这样一个问题,如果我要从0走到1,那么我得先走到0和1的中点12,如果我要从0走到12,那么我就需要先走到0和12的中点14,而这个过程是可以无限继续下去的,你们看到问题所在了吗?”
“第二个例子,依旧是这条线段,我把它竖起来,然后我再在它的旁边画一条倾斜一点的线段,有点像直角三角形的高和斜边长,对吧。”
“这两条线段的长度明显是不想等的,但是我们可以将上面的点一一对应起来,横着连线,对,假设,线段是由一个一个可数的点构成的,那么我们就会得到一个荒谬的结论,也就是这两条线段是相等的。”
“但是我们知道它们俩是不相等的,所以,我想你们应该已经得出了结论,哪怕是一条有限长的线段上,上面也布满了无穷个数,对吗?”
“很好,这就是你们暂时需要知道的关于实数的事。”
“我们接下来来讲集合。”
……
米西是半途从艾尔他们中溜出来来到黎曼先生的“课堂”后的。
黎曼先生把召唤光放到了石板的上方,这个光球足够亮,亮到她可以看见她妈妈纸上的笔记。
“妈妈,给我看看。”
“哦!米西!你什么时候过来的?”
“刚刚。”
米西的妈妈抽出她垫在下面的几张纸递给米西,自己则接着听课记笔记。
米西快速地扫了眼那几张纸,然后抬起头看向白光下正在侃侃而谈的黎曼先生。
“……集合另一个需要注意的特性是,元素的重复是无意义的。”
“我们举个例子来理解,大家应该还记得集合定义是具有某种特定性质的对象的汇总,那么我现在在这里喊一句——谁要跟我一起去打猎?报名的人是否就是一个集合?”
“这种情况下,假设我不小心将弗莱迪先生的名字记下了两次,比如我现在纸上共有18个名字,其中有两个弗莱迪,这并不意味着会出现两个弗莱迪来跟我打猎,不是吗?真正和我一起去打猎的依旧只有17个人,只有一个弗莱迪,这就是重复的无意义。”
米西觉得黎曼先生是个神奇的人,他总喜欢举各种各样的例子,她其实觉得这样有点浪费时间啦,但其他人好像觉得这样更好理解,唉,那她就只能迁就下其他那些不够聪明的人了。
“……集合另一个需要注意的地方是,呃,稍等一下。”
米西看着黎曼先生从不知道哪里摸出了一张纸,他好看的眉微微皱了起来,然后转头对大家说:“抱歉,今天都课就先到这里,虽然没什么需要深入理解的内容,但希望大家能花些时间记住这些基本概念,因为以后我们会经常用到,哪里有忘记的可以互相交换一下笔记,进行一个查漏补缺,我有些事情要去做,明天见。”
米西忍不住发出了一声懊恼的“噢——”,她才刚来呢!怎么还没开始就要结束了!
不过她没懊恼多久,因为她妈妈扯了扯她的衣角:“米西,帮我看看证明根号2这一段……”
“好的,妈妈。”
……
让黎曼中途停下他的讲课的理由自然是深渊的消息。
他离开庞德主教和圣子一群人之前,给了他们一个临时传送小阵——小阵的意思是真的非常小,只够传张纸条过来的。
那是一张超级小的地图,上面共打了六个x,意思就是这六个地方有深渊异变。
黎曼挑了挑眉,难怪庞德主教当时态度那么不配合,现在还是来找他了,一次性出现了六处异变,教廷估计也有些手忙脚乱。
黎曼检查了一番自己的装备,立刻传送离开。
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